TEORÍA DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS

Conjunto: es toda reunión, colección o agrupación de elementos bien definidos que tienen características homogéneas o heterogéneas. Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas: A, B, C…
Elemento: Es cada de las partes que constituyen un conjunto. Colocando entre elemento y elemento una coma o punto y coma.

1. Cardinal de un conjunto:

Se refiere a la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto.
Ejemplo: A = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 10, 12}, entonces el cardinal del conjunto A es: n(A) = 7.
Nota: Los elementos que se repiten se cuentan una sola vez, en la determinación del cardinal.

2. Determinación de un conjunto:

a) Por comprensión: Cuando se establece una característica general para todos sus elementos.
Ejemplo: A = {x Є N / 5 < x < 14} b) Por extensión: Cuando se nombran todos sus elementos. Ejemplo: A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} 3. Relación de Pertenencia: Es la relación que se establece entre elemento y conjunto. Elemento Є Conjunto 4. Relación de Inclusión: Es la relación que existe entre conjunto y conjunto. Conjunto C Conjunto Nota: No existe pertenencia entre conjuntos, ni tampoco inclusión entre elemento y conjunto. 5. Relaciones entre Conjuntos: a) Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden. b) Diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro. c) Comparables: Se dice que dos conjuntos son comparables sí uno de ellos está incluido en el otro. d) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos, si no tienen elementos en común es decir, no hay intersección. e) Equivalentes o Equipotentes: Se llaman así si tienen el mismo número de elementos. 6. Clases de Conjuntos: a) Conjunto Finito: Cuando tiene un número limitado de elementos. b) Conjunto Infinito: Cuando tiene un número ilimitado de elementos, es decir no se pueden enumerar los mismos. c) Conjunto Universal: Es aquel que sirve de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en él. d) Conjunto Vacío o Nulo: Es aquel que no posee elementos. e) Conjunto Unitario (Singleton): Es aquel que consta de un solo elemento. f) Conjunto de Conjuntos: Es aquel cuyos elementos son todos conjuntos. g) Conjunto Potencia: Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto. h) Número de Subconjuntos: También llamado número de elementos del conjunto potencia. Está determinado por la siguiente fórmula. n[P_A ]=2^(n(A)) Donde: n = número de elementos del conjunto A i) Número de Subconjuntos Propios: Está determinado por la siguiente fórmula: Sub[P_A ]=2^(n(A))-1 7. Operaciones con Conjuntos: a) Unión o Reunión (A U B): Es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a “A” o “B”. b) Intersección (A ∩ B): Es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a “A” como a “B”. c) Diferencia (A – B): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a “A” pero no a “B”. d) Diferencia Simétrica (A Δ B): Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos. A Δ B = (A – B) U (B – A) e) Complemento de un Conjunto (A’): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto. A’ = U – A 8. Producto Cartesiano: Es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, donde las primeras componentes pertenecen al primer conjunto y las segundas componentes al segundo conjunto. A x B = {(a, b)/a Є A Λ b Є B} TALLER DE EJERCICIOS 1. Dados los conjuntos unitarios A = {3a + 1; 7}; B = {3; b + c} y C = {2; bc} donde b > c. Calcular: a – 2b + 3c:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales: A = {3a + 5; 7}; B = {b/3-2;5}. Calcular: b – a
a) 26 b) 27 c) 18 d) 16 e) 28



3. Si en un aula de 60 alumnos, 20 aprobaron sólo literatura, 30 aprobaron literatura y matemática ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo matemática?
a) 1 b) 5 c) 6 d) 3 e) 10

4. De los 60 alumnos que conforman un salón de clases, 32 juegan fútbol y 25 juegan básquet ¿Cuántos juegan sólo un deporte si 10 no juegan ninguno?
a) 43 b) 45 c) 47 d) 31 e) 39

5. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres. ¿Cuántas personas hablan dos de estos idiomas?
a) 40 b) 22 c) 37 d) 38 e) 25

6. En una guerra participaron 100 hombres: 42 fueron heridos en la cabeza, 43 en el brazo y 32 en la pierna; además 5 fueron heridos en la cabeza y brazo; 6 en cabeza y pierna y 8 en brazo y pierna. ¿Cuántos fueron heridos en las 3 partes?
a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

7. En un salón de clases de 47 alumnos se sabe que a 30 les gusta lenguaje, 20 les gusta matemática y a 25 el inglés. A 14 les gusta matemática y lenguaje, a 13 lenguaje e inglés y a 15 matemática e inglés. Si a 12 les gusta los 3 cursos ¿A cuántos no les gusta ninguno?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Se sabe que en una encuesta sobre la preferencia de 3 productos A, B y C: 22 prefieren A, 24 a B y 20 a C, si los que prefieren al menos un producto son 35 y los que prefieren sólo un producto son 5. ¿Cuántos prefieren los 3 productos?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. A una fiesta de promoción asisten 30 alumnos de los cuales 12 son varones de los cuales 5 no están bailando ¿Cuántas mujeres están bailando?
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

10. Una persona come huevos y/o tocino en su desayuno, esto durante un mes. Si come tocino 25 mañanas y huevo 18 mañanas ¿Cuántas mañanas comerá huevos y tocinos?
a) 32 b) 43 c) 15 d) 13 e) 20

11. En una peña criolla trabajan 32 artistas. De estos 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. ¿Cuántos no cantan ni bailan?
a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 3