TEORÍA DE CONJUNTOS
Conjunto: es toda reunión, colección o agrupación de elementos bien definidos que tienen características homogéneas o heterogéneas. Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas: A, B, C…
Elemento: Es cada de las partes que constituyen un conjunto. Colocando entre elemento y elemento una coma o punto y coma.
1. Cardinal de un conjunto:
Se refiere a la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto.
Ejemplo: A = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 10, 12}, entonces el cardinal del conjunto A es: n(A) = 7.
Nota: Los elementos que se repiten se cuentan una sola vez, en la determinación del cardinal.
2. Determinación de un conjunto:
a) Por comprensión: Cuando se establece una característica general para todos sus elementos.
Ejemplo: A = {x Є N / 5 < x < 14}
b) Por extensión: Cuando se nombran todos sus elementos.
Ejemplo: A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
3. Relación de Pertenencia:
Es la relación que se establece entre elemento y conjunto.
Elemento Є Conjunto
4. Relación de Inclusión:
Es la relación que existe entre conjunto y conjunto.
Conjunto C Conjunto
Nota: No existe pertenencia entre conjuntos, ni tampoco inclusión entre elemento y conjunto.
5. Relaciones entre Conjuntos:
a) Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden.
b) Diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.
c) Comparables: Se dice que dos conjuntos son comparables sí uno de ellos está incluido en el otro.
d) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos, si no tienen elementos en común es decir, no hay intersección.
e) Equivalentes o Equipotentes: Se llaman así si tienen el mismo número de elementos.
6. Clases de Conjuntos:
a) Conjunto Finito: Cuando tiene un número limitado de elementos.
b) Conjunto Infinito: Cuando tiene un número ilimitado de elementos, es decir no se pueden enumerar los mismos.
c) Conjunto Universal: Es aquel que sirve de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en él.
d) Conjunto Vacío o Nulo: Es aquel que no posee elementos.
e) Conjunto Unitario (Singleton): Es aquel que consta de un solo elemento.
f) Conjunto de Conjuntos: Es aquel cuyos elementos son todos conjuntos.
g) Conjunto Potencia: Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto.
h) Número de Subconjuntos: También llamado número de elementos del conjunto potencia. Está determinado por la siguiente fórmula.
n[P_A ]=2^(n(A))
Donde: n = número de elementos del conjunto A
i) Número de Subconjuntos Propios: Está determinado por la siguiente fórmula:
Sub[P_A ]=2^(n(A))-1
7. Operaciones con Conjuntos:
a) Unión o Reunión (A U B):
Es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a “A” o “B”.
b) Intersección (A ∩ B):
Es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a “A” como a “B”.
c) Diferencia (A – B):
Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a “A” pero no a “B”.
d) Diferencia Simétrica (A Δ B):
Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos.
A Δ B = (A – B) U (B – A)
e) Complemento de un Conjunto (A’):
Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto.
A’ = U – A
8. Producto Cartesiano:
Es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, donde las primeras componentes pertenecen al primer conjunto y las segundas componentes al segundo conjunto.
A x B = {(a, b)/a Є A Λ b Є B}
TALLER DE EJERCICIOS
1. Dados los conjuntos unitarios A = {3a + 1; 7}; B = {3; b + c} y C = {2; bc} donde b > c. Calcular: a – 2b + 3c:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales: A = {3a + 5; 7}; B = {b/3-2;5}. Calcular: b – a
a) 26 b) 27 c) 18 d) 16 e) 28
3. Si en un aula de 60 alumnos, 20 aprobaron sólo literatura, 30 aprobaron literatura y matemática ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo matemática?
a) 1 b) 5 c) 6 d) 3 e) 10
4. De los 60 alumnos que conforman un salón de clases, 32 juegan fútbol y 25 juegan básquet ¿Cuántos juegan sólo un deporte si 10 no juegan ninguno?
a) 43 b) 45 c) 47 d) 31 e) 39
5. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres. ¿Cuántas personas hablan dos de estos idiomas?
a) 40 b) 22 c) 37 d) 38 e) 25
6. En una guerra participaron 100 hombres: 42 fueron heridos en la cabeza, 43 en el brazo y 32 en la pierna; además 5 fueron heridos en la cabeza y brazo; 6 en cabeza y pierna y 8 en brazo y pierna. ¿Cuántos fueron heridos en las 3 partes?
a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2
7. En un salón de clases de 47 alumnos se sabe que a 30 les gusta lenguaje, 20 les gusta matemática y a 25 el inglés. A 14 les gusta matemática y lenguaje, a 13 lenguaje e inglés y a 15 matemática e inglés. Si a 12 les gusta los 3 cursos ¿A cuántos no les gusta ninguno?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. Se sabe que en una encuesta sobre la preferencia de 3 productos A, B y C: 22 prefieren A, 24 a B y 20 a C, si los que prefieren al menos un producto son 35 y los que prefieren sólo un producto son 5. ¿Cuántos prefieren los 3 productos?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. A una fiesta de promoción asisten 30 alumnos de los cuales 12 son varones de los cuales 5 no están bailando ¿Cuántas mujeres están bailando?
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
10. Una persona come huevos y/o tocino en su desayuno, esto durante un mes. Si come tocino 25 mañanas y huevo 18 mañanas ¿Cuántas mañanas comerá huevos y tocinos?
a) 32 b) 43 c) 15 d) 13 e) 20
11. En una peña criolla trabajan 32 artistas. De estos 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. ¿Cuántos no cantan ni bailan?
a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 3
viernes, 2 de marzo de 2012
MEZCLA Y ALEACION
MEZCLA Y ALEACIÓN
MEZCLA
Es la unión de dos o más componentes o ingrediente, donde cada uno de ellos conserva su propia naturaleza
Precio Medio: Precio de costo por unidad de la mezcla, en el cual no se obtiene ganancia ni pérdida.
Pm=(Costo Total)/(Cantidad Total)
Pm=(C_1.P_1+⋯〖+C〗_n P_n)/(C_1+C_2+⋯+C_n )
Precio Menor < Precio de la Mezcla < Precio Mayor
Si en una mezcla interviene el agua, por convención se precio es despreciable, a menos que se indique en el enunciado lo contrario.
Si desea vender el litro o kilogramo de mezcla, ganando el x% se tendrá que:
P_venta=Pm+x%Pm
Para dos Componentes:
Sean los precios unitarios P1 y P2 de donde: P1 < P2. Se cumple que:
C_1/C_2 =(P_2-P_m)/(P_m-P_1 )
P1 < Pm < P2
MEZCLAS ALCOHÓLICAS:
Es aquella mezcla cuyos componentes están constituidos por alcohol y agua.
a) Grado Alcohólico (Gº)
Llamado también pureza alcohólica, puesto que indica en porcentaje de alcohol puro que interviene en la mezcla.
"Grado Alcohólico=" "Volumen alcohol puro" /"Volumen Total" "x 100º"
Galcohol = 100º = 100%
Gagua pura = 0º
El grado medio (Gm) de una mezcla de varios alcoholes se calcula en forma análoga que el precio medio, considerándose los grados de pureza por los precios.
Mezcla alcohólica directa:
G_m= (V_1 G_1+V_2 G_2+V_3 G_3+⋯+V_n G_n)/(V_1+V_2+V_3+⋯+V_n )
Donde:
V1, V2, V3, …, Vn = Volúmenes que se mezclan
G1, G2, G3, …, Gn = Grados unitarios respectivos
MEZCLA DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES DENSIDADES
Dm=(Masa de la mezcla)/(Volumen de la mezcla)
Dm=(M_1+M_2+⋯+M_n)/(V_1+V_2+⋯+ V_n )
LEY DE UNA ALEACIÓN:
a) Aleación Directa:
Ley= (Peso Metal Fino)/(Peso de Aleación)
b) Liga de una Aleación:
Es la relación entre la cantidad de metal ordinario y la cantidad de mezcla.
Liga=(Peso metal ordinario)/(Peso de aleación)
Ley + Liga = 1
Ley del metal fino = 1
Ley del metal ordinario = 0
0 ≤ Ley(L) ≤ 1
c) Ley de Oro:
Comercialmente la ley del oro se expresa en quilates y para ello se establece que si la aleación contiene sólo oro puro, es de 24 quilates.
L=(L_1 P_1+24P_2)/(P_1+P_2 )
TALLER DE EJERCICIOS
1. Carlos mezcla 40 litros de alcohol de S/. 6 el litro con 60 litros de alcohol de S/. 11 el litro ¿Cuál será el precio promedio de la mezcla?
a) S/. 8 b) S/. 9 c) S/. 8,50
d) S/. 9,50 e) S/.10
2. Fernando tiene 100 litros de una mezcla que contiene vinos de S/. 4 y S/. 8 el litro. Si el precio medio de la mezcla es S/. 6,60 ¿Cuántos litros hay del vino más barato?
a) 40 b) 35 c) 45 d) 55 e) 30
3. Se mezclan 40 L de alcohol de 50º con 60 L de alcohol de 20º. Determinar el grado de la mezcla resultante:
a) 18º b) 16º c) 32º d) 28º e) 19º
4. Un químico tiene una mezcla al 30% de alcohol y otra al 50% ¿Cuántos litros de cada mezcla se necesitan para preparar un total de 400 litros al 45% de alcohol?
a) 250 y 150 b) 200 y 200 c) 50 y 350
d) 100 y 300 e) 120 y 280
5. Si una aleación contiene 30 g de oro y 50 g de cobre, ¿Cuál es la ley?
a) 0,375 b) 1 c) 0,55
d) 0,51 e) 0,5
6. Si una aleación contiene 40 g d oro, 20 g de plata y 10 g de cobre, ¿Cuál es la liga?
a) 3,5 b) 7 c) 5 d) 1/7 e) 10
7. Un recipiente A contiene una mezcla de alcohol y agua al 60% y otro recipiente B contiene la misma mezcla al 40%, si las cantidades son 20 y 80 litros respectivamente. Ambas mezclas se mezclan en un recipiente C ¿Qué concentración tendrá la nueva mezcla?
a) 48% b) 50% c) 44% d) 36% e) 25%
8. Se mezclan 3 litros de un alcohol al 30% con 9 litros al 70% y al resultado se le agrega un diluyente hasta obtener una concentración al 50% ¿Cuántos litros de diluyente se empleó?
a) 3 L b) 2 L c) 2,5 L d) 4 L e) 2,4 L
9. Una cierta cantidad de azúcar a S/. 120 el kilo se mezcla con 100 kg de azúcar de S/. 180 el kilo, si el precio medio de la mezcla es S/. 142,5. Hallar dicha cantidad.
a) 113,3 b) 166 c) 166 2/3
d) 160 e) 100
10. Se mezcla pisco de 60º, 48º y 42º en cantidades iguales. Si a esta mezcla se le agregan 91 litros de agua, se obtiene pisco de 36º que se vende a S/. 3 la botella de ½ litro. Determinar el ingreso total por la venta:
a) S/. 1850 b) S/. 1900 c) S/. 1950
d) S/. 1150 e) S/. 2000
11. Si una aleación tiene 30 gr de cobre y 70 gr de zinc, hallar la ley y la liga:
a) 0,3; 0,7 b) 0,5; 0,5 c) 0,8; 0,2
d) 0,6; 0,4 e) 0,1; 0,9
12. Un recipiente está lleno de una mezcla de alcohol y agua al 60%, si se extrae la mitad de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae la mitad de la nueva mezcla y se reemplaza por el alcohol ¿Cuál es la concentración de la mezcla?
a) 45% b) 60% c) 95% d) 70% e) 65%
13. Se mezclan 50 L de alcohol de 50º con 60 L de alcohol de 20º. Determinar el grado de la mezcla resultante:
a) 18º b) 36º c) 33,63º d) 35º e) 40º
MEZCLA
Es la unión de dos o más componentes o ingrediente, donde cada uno de ellos conserva su propia naturaleza
Precio Medio: Precio de costo por unidad de la mezcla, en el cual no se obtiene ganancia ni pérdida.
Pm=(Costo Total)/(Cantidad Total)
Pm=(C_1.P_1+⋯〖+C〗_n P_n)/(C_1+C_2+⋯+C_n )
Precio Menor < Precio de la Mezcla < Precio Mayor
Si en una mezcla interviene el agua, por convención se precio es despreciable, a menos que se indique en el enunciado lo contrario.
Si desea vender el litro o kilogramo de mezcla, ganando el x% se tendrá que:
P_venta=Pm+x%Pm
Para dos Componentes:
Sean los precios unitarios P1 y P2 de donde: P1 < P2. Se cumple que:
C_1/C_2 =(P_2-P_m)/(P_m-P_1 )
P1 < Pm < P2
MEZCLAS ALCOHÓLICAS:
Es aquella mezcla cuyos componentes están constituidos por alcohol y agua.
a) Grado Alcohólico (Gº)
Llamado también pureza alcohólica, puesto que indica en porcentaje de alcohol puro que interviene en la mezcla.
"Grado Alcohólico=" "Volumen alcohol puro" /"Volumen Total" "x 100º"
Galcohol = 100º = 100%
Gagua pura = 0º
El grado medio (Gm) de una mezcla de varios alcoholes se calcula en forma análoga que el precio medio, considerándose los grados de pureza por los precios.
Mezcla alcohólica directa:
G_m= (V_1 G_1+V_2 G_2+V_3 G_3+⋯+V_n G_n)/(V_1+V_2+V_3+⋯+V_n )
Donde:
V1, V2, V3, …, Vn = Volúmenes que se mezclan
G1, G2, G3, …, Gn = Grados unitarios respectivos
MEZCLA DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES DENSIDADES
Dm=(Masa de la mezcla)/(Volumen de la mezcla)
Dm=(M_1+M_2+⋯+M_n)/(V_1+V_2+⋯+ V_n )
LEY DE UNA ALEACIÓN:
a) Aleación Directa:
Ley= (Peso Metal Fino)/(Peso de Aleación)
b) Liga de una Aleación:
Es la relación entre la cantidad de metal ordinario y la cantidad de mezcla.
Liga=(Peso metal ordinario)/(Peso de aleación)
Ley + Liga = 1
Ley del metal fino = 1
Ley del metal ordinario = 0
0 ≤ Ley(L) ≤ 1
c) Ley de Oro:
Comercialmente la ley del oro se expresa en quilates y para ello se establece que si la aleación contiene sólo oro puro, es de 24 quilates.
L=(L_1 P_1+24P_2)/(P_1+P_2 )
TALLER DE EJERCICIOS
1. Carlos mezcla 40 litros de alcohol de S/. 6 el litro con 60 litros de alcohol de S/. 11 el litro ¿Cuál será el precio promedio de la mezcla?
a) S/. 8 b) S/. 9 c) S/. 8,50
d) S/. 9,50 e) S/.10
2. Fernando tiene 100 litros de una mezcla que contiene vinos de S/. 4 y S/. 8 el litro. Si el precio medio de la mezcla es S/. 6,60 ¿Cuántos litros hay del vino más barato?
a) 40 b) 35 c) 45 d) 55 e) 30
3. Se mezclan 40 L de alcohol de 50º con 60 L de alcohol de 20º. Determinar el grado de la mezcla resultante:
a) 18º b) 16º c) 32º d) 28º e) 19º
4. Un químico tiene una mezcla al 30% de alcohol y otra al 50% ¿Cuántos litros de cada mezcla se necesitan para preparar un total de 400 litros al 45% de alcohol?
a) 250 y 150 b) 200 y 200 c) 50 y 350
d) 100 y 300 e) 120 y 280
5. Si una aleación contiene 30 g de oro y 50 g de cobre, ¿Cuál es la ley?
a) 0,375 b) 1 c) 0,55
d) 0,51 e) 0,5
6. Si una aleación contiene 40 g d oro, 20 g de plata y 10 g de cobre, ¿Cuál es la liga?
a) 3,5 b) 7 c) 5 d) 1/7 e) 10
7. Un recipiente A contiene una mezcla de alcohol y agua al 60% y otro recipiente B contiene la misma mezcla al 40%, si las cantidades son 20 y 80 litros respectivamente. Ambas mezclas se mezclan en un recipiente C ¿Qué concentración tendrá la nueva mezcla?
a) 48% b) 50% c) 44% d) 36% e) 25%
8. Se mezclan 3 litros de un alcohol al 30% con 9 litros al 70% y al resultado se le agrega un diluyente hasta obtener una concentración al 50% ¿Cuántos litros de diluyente se empleó?
a) 3 L b) 2 L c) 2,5 L d) 4 L e) 2,4 L
9. Una cierta cantidad de azúcar a S/. 120 el kilo se mezcla con 100 kg de azúcar de S/. 180 el kilo, si el precio medio de la mezcla es S/. 142,5. Hallar dicha cantidad.
a) 113,3 b) 166 c) 166 2/3
d) 160 e) 100
10. Se mezcla pisco de 60º, 48º y 42º en cantidades iguales. Si a esta mezcla se le agregan 91 litros de agua, se obtiene pisco de 36º que se vende a S/. 3 la botella de ½ litro. Determinar el ingreso total por la venta:
a) S/. 1850 b) S/. 1900 c) S/. 1950
d) S/. 1150 e) S/. 2000
11. Si una aleación tiene 30 gr de cobre y 70 gr de zinc, hallar la ley y la liga:
a) 0,3; 0,7 b) 0,5; 0,5 c) 0,8; 0,2
d) 0,6; 0,4 e) 0,1; 0,9
12. Un recipiente está lleno de una mezcla de alcohol y agua al 60%, si se extrae la mitad de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae la mitad de la nueva mezcla y se reemplaza por el alcohol ¿Cuál es la concentración de la mezcla?
a) 45% b) 60% c) 95% d) 70% e) 65%
13. Se mezclan 50 L de alcohol de 50º con 60 L de alcohol de 20º. Determinar el grado de la mezcla resultante:
a) 18º b) 36º c) 33,63º d) 35º e) 40º
REGLA DE DESCUENTO
REGLA DE DESCUENTO
Cuando queremos comprar un artículo, por ejemplo una computadora, y no tenemos el dinero necesario para efectuar el pago al contado, realizamos una compra al crédito, dando una parte a cuenta, llamada inicial y por el saldo firmamos un documento que incluye lo que nos falta más los intereses que nos recarga la casa comercial, esto figurará en un documento llamado letra de cambio, que el comprador firmará como compromiso de pago a una determinada fecha. Si esta letra se cancelara antes de la fecha determinada, entonces se hará un descuento a favor del comprador o también llamado deudor o aceptante.
Letra de Cambio: Es un documento de crédito mediante el cual una persona denominada deudor o aceptante se compromete, mediante su firma, a pagar el importe que figura en el documento a otra persona denominado acreedor en un tiempo establecido.
Valor Nominal (VN): Es el valor o cantidad que figura en el documento para ser cancelado en una fecha determinada.
Valor Actual (VA): Es el valor que se paga por un documento comercial al hacerlo efectivo antes de su fecha de vencimiento.
Descuento (D): Es el beneficio que obtiene el deudor al cancelar el documento comercial antes de la fecha de vencimiento. Se obtiene por la diferencia del valor nominal y valor actual.
D = VN – VA
CLASES DE DESCUENTO
a) Descuento Comercial (DC): Es el interés que genera el valor nominal desde el día que se efectúa el pago hasta la fecha de vencimiento bajo una cierta tasa de interés. También se le denomina externo.
D_C=(V_N.t.r)/100
Donde:
VN = Valor Nominal
t = tiempo antes del vencimiento
r = tasa de interés
b) Descuento Racional (DR): Es el interés que generaría el valor actual del documento comercial desde el día que se efectúa el pago hasta la fecha de vencimiento bajo una cierta tasa de interés. También se denomina descuento interno o matemático.
D_R=(V_A.t.r)/100
Donde:
VA = Valor Actual
t = tiempo antes del vencimiento
r = tasa de interés
TALLER DE EJERCICIOS
1. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 4000 al 4%, si faltan 3 meses para que se venza.
a) 30 b) 40 c) 50 d) 160 e) 80
2. ¿Cuánto se recibirá por una letra de S/. 2100 que se va a descontar racionalmente 6 meses antes de su vencimiento al 10% anual?
a) S/. 2000 b) S/. 100 c) S/. 1500
d) S/. 500 e) S/. 750
3. Se firmó una letra por S/. 2150 a una tasa del 18% anual que vencía en ocho meses, si se concretó a los tres meses después de firmar la letra aplicando descuento racional ¿Cuánto se pagó?
a) S/. 3000 b) S/. 2000 c) S/. 400
d) S/. 500 e) S/. 600
4. Se ha negociado un pagaré de S/. 600 obteniéndose S/. 580 del valor actual. Si el pagaré vencía dentro de 4 meses. ¿Cuál es el tanto por ciento anual que será descontado comercialmente?
a) 10,36% b) 10% c) 3,33%
d) 5% e) 1%
5. Calcular el valor actual de una letra que descontada por 4 meses al 5% da una diferencia de S/. 2 entre el descuento comercial y el descuento racional.
a) S/. 7200 b) S/. 3200 c) S/. 7050
d) S/. 4025 e) S/. 7280
6. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 500 al 5% mensual si falta 1 mes para su vencimiento.
a) S/. 250 b) S/. 25 c) S/. 30
d) S/. 300 e) S/. 50
7. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 3000 al 4%, si faltan 5 meses para su vencimiento.
a) S/. 50 b) S/. 70 c) S/. 30
d) S/. 60 e) S/. 100
8. Hallar el valor a pagar por una letra de S/. 4000 al 4% mensual si faltan 3 meses para su vencimiento:
a) S/. 3520 b) S/. 450
c) S/. 3620 e) S/. 3420
9. Hallar el valor a pagar por una letra de S/. 3000 al 12% si faltan 5 meses para su vencimiento.
a) S/. 2750 b) S/. 2350 c) S/. 2850
d) S/. 3700 e) S/. 2500
10. Un pagaré de S/. 12000 se ha descontado comercialmente al 9% obteniéndose S/. 11865 de valor actual ¿Dentro de cuánto tiempo se vencerá?
a) 3 meses b) 4 c) 2 d) 5 e) 1,5
11. Un pagaré de S/. 15000 se ha descontado comercialmente al 12% obteniéndose S/. 14850 de valor actual ¿Dentro de cuánto tiempo se vencerá?
a) 1 mes b) 2 c) 2,5 d) 5 e) Hoy
12. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 500 al 5% anual. Si falta 12 meses para su vencimiento.
a) S/. 75 b) S/. 25 c) S/. 30
d) S/. 45 e) S/. 50
Cuando queremos comprar un artículo, por ejemplo una computadora, y no tenemos el dinero necesario para efectuar el pago al contado, realizamos una compra al crédito, dando una parte a cuenta, llamada inicial y por el saldo firmamos un documento que incluye lo que nos falta más los intereses que nos recarga la casa comercial, esto figurará en un documento llamado letra de cambio, que el comprador firmará como compromiso de pago a una determinada fecha. Si esta letra se cancelara antes de la fecha determinada, entonces se hará un descuento a favor del comprador o también llamado deudor o aceptante.
Letra de Cambio: Es un documento de crédito mediante el cual una persona denominada deudor o aceptante se compromete, mediante su firma, a pagar el importe que figura en el documento a otra persona denominado acreedor en un tiempo establecido.
Valor Nominal (VN): Es el valor o cantidad que figura en el documento para ser cancelado en una fecha determinada.
Valor Actual (VA): Es el valor que se paga por un documento comercial al hacerlo efectivo antes de su fecha de vencimiento.
Descuento (D): Es el beneficio que obtiene el deudor al cancelar el documento comercial antes de la fecha de vencimiento. Se obtiene por la diferencia del valor nominal y valor actual.
D = VN – VA
CLASES DE DESCUENTO
a) Descuento Comercial (DC): Es el interés que genera el valor nominal desde el día que se efectúa el pago hasta la fecha de vencimiento bajo una cierta tasa de interés. También se le denomina externo.
D_C=(V_N.t.r)/100
Donde:
VN = Valor Nominal
t = tiempo antes del vencimiento
r = tasa de interés
b) Descuento Racional (DR): Es el interés que generaría el valor actual del documento comercial desde el día que se efectúa el pago hasta la fecha de vencimiento bajo una cierta tasa de interés. También se denomina descuento interno o matemático.
D_R=(V_A.t.r)/100
Donde:
VA = Valor Actual
t = tiempo antes del vencimiento
r = tasa de interés
TALLER DE EJERCICIOS
1. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 4000 al 4%, si faltan 3 meses para que se venza.
a) 30 b) 40 c) 50 d) 160 e) 80
2. ¿Cuánto se recibirá por una letra de S/. 2100 que se va a descontar racionalmente 6 meses antes de su vencimiento al 10% anual?
a) S/. 2000 b) S/. 100 c) S/. 1500
d) S/. 500 e) S/. 750
3. Se firmó una letra por S/. 2150 a una tasa del 18% anual que vencía en ocho meses, si se concretó a los tres meses después de firmar la letra aplicando descuento racional ¿Cuánto se pagó?
a) S/. 3000 b) S/. 2000 c) S/. 400
d) S/. 500 e) S/. 600
4. Se ha negociado un pagaré de S/. 600 obteniéndose S/. 580 del valor actual. Si el pagaré vencía dentro de 4 meses. ¿Cuál es el tanto por ciento anual que será descontado comercialmente?
a) 10,36% b) 10% c) 3,33%
d) 5% e) 1%
5. Calcular el valor actual de una letra que descontada por 4 meses al 5% da una diferencia de S/. 2 entre el descuento comercial y el descuento racional.
a) S/. 7200 b) S/. 3200 c) S/. 7050
d) S/. 4025 e) S/. 7280
6. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 500 al 5% mensual si falta 1 mes para su vencimiento.
a) S/. 250 b) S/. 25 c) S/. 30
d) S/. 300 e) S/. 50
7. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 3000 al 4%, si faltan 5 meses para su vencimiento.
a) S/. 50 b) S/. 70 c) S/. 30
d) S/. 60 e) S/. 100
8. Hallar el valor a pagar por una letra de S/. 4000 al 4% mensual si faltan 3 meses para su vencimiento:
a) S/. 3520 b) S/. 450
c) S/. 3620 e) S/. 3420
9. Hallar el valor a pagar por una letra de S/. 3000 al 12% si faltan 5 meses para su vencimiento.
a) S/. 2750 b) S/. 2350 c) S/. 2850
d) S/. 3700 e) S/. 2500
10. Un pagaré de S/. 12000 se ha descontado comercialmente al 9% obteniéndose S/. 11865 de valor actual ¿Dentro de cuánto tiempo se vencerá?
a) 3 meses b) 4 c) 2 d) 5 e) 1,5
11. Un pagaré de S/. 15000 se ha descontado comercialmente al 12% obteniéndose S/. 14850 de valor actual ¿Dentro de cuánto tiempo se vencerá?
a) 1 mes b) 2 c) 2,5 d) 5 e) Hoy
12. Hallar el descuento que se le debe hacer a una letra de S/. 500 al 5% anual. Si falta 12 meses para su vencimiento.
a) S/. 75 b) S/. 25 c) S/. 30
d) S/. 45 e) S/. 50
REGLA DE INTERÉS
REGLA DE INTERÉS
Se denomina Interés o rédito a la cantidad que produce una suma de dinero depositada en una entidad financiera o el dinero prestado también por una entidad financiera, pactado a una cierta tasa y a un determinado tiempo.
FÓRMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE:
I= (C.r.t)/100
Donde:
I = Interés o ganancia
C = Capital depositado
r = Tasa de interés (%)
t = tiempo de imposición
Además:
M = C + I
Donde: M = Monto
Observación: “r” y “t” se deben expresar en las mismas unidades, si no lo estuvieran se deben hacer las conversiones o cambios necesarios.
Nota: Se debe tener en cuenta que 1 mes comercial tiene 30 días y un año comercial, 360 días. Existen algunos casos especiales muy utilizados para el cálculo del interés:
I= (C.r.t)/1200
r = % anual
t = meses
I= (C.r.t)/36000
r = % anual
t = días
FÓRMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS COMPUESTO:
M = C(1 + r%)t
Capitalizable: MTOTAL = M1(1 + r%)t
TALLER DE EJERCICIOS
1. Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 5% de interés, si los intereses producidos alcanzan el 60% del valor del capital:
a) 12 años b) 20 c) 18 d) 6 e) 5
2. Un capital estivo impuesto al 9% de interés anual. Si se obtuvo un monto después de 4 años de S/. 10200 ¿Cuál es el valor del capital?
a) S/. 7500 b) S/. 9350 c) S/. 13872
d) S/. 1200 e) S/. 150
3. Carlos impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta un interés anual de S/. 3100 ¿Cuál es la suma impuesta al 4%?
a) S/. 42500 b) S/. 40000 c) S/. 58000
d) S/. 30000 e) S/. 29500
4. Después de 10 meses un capital que se impuso al 5% de interés simple mensual se transformó en S/. 12000 ¿Cuál fue el capital?
a) S/. 8000 b) S/. 5000 c) S/. 1000
d) S/. 6000 e) S/. 7500
5. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que un capital se triplique bajo una tasa del 12,5% trimestral?
a) 36 meses b) 40 meses c) 48 meses
d) 50 meses e) 56 meses
6. Ana pone el capital que posee en un banco. Si dentro de 6 meses se retira, recibirá S/. 1575, pero si se retira dentro de 16 meses recibirá S/. 125 más. Halle la tasa:
a) 5% b) 20% c) 8% d) 13% e) 10%
7. ¿Qué interés origina S/. 7200 al 2% trimestral en 5 meses?
a) S/. 120 b) S/. 140 c) S/. 160
d) S/. 240 e) S/. 150
8. 1600 soles se pone al 10% en un año capitalizable semestralmente ¿Cuál fue el interés?
a) S/. 500 b) S/. 750 c) S/. 700
d) S/. 164 e) S/. 600
9. Carmen depositó un capital por 2 años y 3 meses pero si lo dejaría 4 años y 8 meses ganaría S/. 870 más. ¿Cuánto gana mensualmente de interés Carmen?
a) S/. 500 b) S/. 300 c) S/. 30
d) S/. 70 e) S/. 90
10. Si se presta un capital al 12% con capitalización semestral, hallar la tasa real:
a) 12% b) 11,64% c) 12,36%
d) 11,6% e) 12,5%
Se denomina Interés o rédito a la cantidad que produce una suma de dinero depositada en una entidad financiera o el dinero prestado también por una entidad financiera, pactado a una cierta tasa y a un determinado tiempo.
FÓRMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE:
I= (C.r.t)/100
Donde:
I = Interés o ganancia
C = Capital depositado
r = Tasa de interés (%)
t = tiempo de imposición
Además:
M = C + I
Donde: M = Monto
Observación: “r” y “t” se deben expresar en las mismas unidades, si no lo estuvieran se deben hacer las conversiones o cambios necesarios.
Nota: Se debe tener en cuenta que 1 mes comercial tiene 30 días y un año comercial, 360 días. Existen algunos casos especiales muy utilizados para el cálculo del interés:
I= (C.r.t)/1200
r = % anual
t = meses
I= (C.r.t)/36000
r = % anual
t = días
FÓRMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS COMPUESTO:
M = C(1 + r%)t
Capitalizable: MTOTAL = M1(1 + r%)t
TALLER DE EJERCICIOS
1. Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 5% de interés, si los intereses producidos alcanzan el 60% del valor del capital:
a) 12 años b) 20 c) 18 d) 6 e) 5
2. Un capital estivo impuesto al 9% de interés anual. Si se obtuvo un monto después de 4 años de S/. 10200 ¿Cuál es el valor del capital?
a) S/. 7500 b) S/. 9350 c) S/. 13872
d) S/. 1200 e) S/. 150
3. Carlos impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta un interés anual de S/. 3100 ¿Cuál es la suma impuesta al 4%?
a) S/. 42500 b) S/. 40000 c) S/. 58000
d) S/. 30000 e) S/. 29500
4. Después de 10 meses un capital que se impuso al 5% de interés simple mensual se transformó en S/. 12000 ¿Cuál fue el capital?
a) S/. 8000 b) S/. 5000 c) S/. 1000
d) S/. 6000 e) S/. 7500
5. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que un capital se triplique bajo una tasa del 12,5% trimestral?
a) 36 meses b) 40 meses c) 48 meses
d) 50 meses e) 56 meses
6. Ana pone el capital que posee en un banco. Si dentro de 6 meses se retira, recibirá S/. 1575, pero si se retira dentro de 16 meses recibirá S/. 125 más. Halle la tasa:
a) 5% b) 20% c) 8% d) 13% e) 10%
7. ¿Qué interés origina S/. 7200 al 2% trimestral en 5 meses?
a) S/. 120 b) S/. 140 c) S/. 160
d) S/. 240 e) S/. 150
8. 1600 soles se pone al 10% en un año capitalizable semestralmente ¿Cuál fue el interés?
a) S/. 500 b) S/. 750 c) S/. 700
d) S/. 164 e) S/. 600
9. Carmen depositó un capital por 2 años y 3 meses pero si lo dejaría 4 años y 8 meses ganaría S/. 870 más. ¿Cuánto gana mensualmente de interés Carmen?
a) S/. 500 b) S/. 300 c) S/. 30
d) S/. 70 e) S/. 90
10. Si se presta un capital al 12% con capitalización semestral, hallar la tasa real:
a) 12% b) 11,64% c) 12,36%
d) 11,6% e) 12,5%
TANTO POR CIENTO. PORCENTAJE
TANTO POR CIENTO. PORCENTAJE
El tanto por ciento de un número representa las centésimas partes de un número.
Ejemplo:
A% de N è N 100%
X A%
100% * X = N * A%
X = N * A%
100%
X = N * A
100
è A * N = A*N
100 100
RELACIÓN PARTE – TODO:
Si queremos averiguar qué tanto por ciento es la «parte» del «todo» se plantea:
("parte" /"todo" "x100" )"%"
APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO:
A) Descuentos Sucesivos:
Dos descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único (D. U.) de:
"D.U.=" ["a+b-" "a.b" /"100" ]"%"
B) Aumentos Sucesivos:
Dos aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único (A. U.) de:
"A.U.=" ["a+b+" "a.b" /"100" ]"%"
APLICACIONES COMERCIALES DE PORCENTAJE:
PV = PC + G
PV = PC - P
PV = Precio de Venta PC = Precio de Compra
G = Ganancia P = Pérdida
TALLER DE EJERCICIOS
1. Calcular el 15% del 20% de 800:
a) 15 b) 80 c) 30 d) 24 e) 11
2. Si al precio de una grabadora que cuesta 300 soles se le hace 2 descuentos sucesivos del 20% y el 10% ¿Cuál será el nuevo precio?
a) 216 b) 32 c) 64 d) 60 e) 15
3. Al vender una bicicleta a S/. 170 se perdió el 15% ¿Cuál fue el precio de costo de la bicicleta?
a) 200 b) 300 c) 210 d) 180 e) 150
5. ¿Qué tanto por ciento de 160 es 56?
a) 40% b) 25% c) 65% d) 35% e) 40%
6. Si a 100 le quitamos el 25% y después a ese resultado le sumamos su 25%, el nuevo resultado es:
a) 100 b) 93,75 c) 95 d) 125 e) 75
7. En una fiesta, el 60% son hombres y el resto mujeres, luego llegan 40 hombres, cada uno con 2 chicas y de esa manera, todos están con pareja. ¿Cuántas mujeres había inicialmente?
a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100
8. Compro un artículo con el 20% de descuento y lo vendo ganando el 40% del precio original ¿Qué porcentaje he ganado?
a) 60% b) 50% c) 15% d) 13% e) 100%
9. El precio de venta de un artículo es S/. 90, si la ganancia es del 50% del precio de compra, ¿Cuánto es el precio de compra?
a) 15 b) 70 c) 60 d) 50 e) 45
10. El 25% del 20% del 40% de 8000 es:
a) 100 b) 150 c) 160 d) 170 e) 200
El tanto por ciento de un número representa las centésimas partes de un número.
Ejemplo:
A% de N è N 100%
X A%
100% * X = N * A%
X = N * A%
100%
X = N * A
100
è A * N = A*N
100 100
RELACIÓN PARTE – TODO:
Si queremos averiguar qué tanto por ciento es la «parte» del «todo» se plantea:
("parte" /"todo" "x100" )"%"
APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO:
A) Descuentos Sucesivos:
Dos descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único (D. U.) de:
"D.U.=" ["a+b-" "a.b" /"100" ]"%"
B) Aumentos Sucesivos:
Dos aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único (A. U.) de:
"A.U.=" ["a+b+" "a.b" /"100" ]"%"
APLICACIONES COMERCIALES DE PORCENTAJE:
PV = PC + G
PV = PC - P
PV = Precio de Venta PC = Precio de Compra
G = Ganancia P = Pérdida
TALLER DE EJERCICIOS
1. Calcular el 15% del 20% de 800:
a) 15 b) 80 c) 30 d) 24 e) 11
2. Si al precio de una grabadora que cuesta 300 soles se le hace 2 descuentos sucesivos del 20% y el 10% ¿Cuál será el nuevo precio?
a) 216 b) 32 c) 64 d) 60 e) 15
3. Al vender una bicicleta a S/. 170 se perdió el 15% ¿Cuál fue el precio de costo de la bicicleta?
a) 200 b) 300 c) 210 d) 180 e) 150
5. ¿Qué tanto por ciento de 160 es 56?
a) 40% b) 25% c) 65% d) 35% e) 40%
6. Si a 100 le quitamos el 25% y después a ese resultado le sumamos su 25%, el nuevo resultado es:
a) 100 b) 93,75 c) 95 d) 125 e) 75
7. En una fiesta, el 60% son hombres y el resto mujeres, luego llegan 40 hombres, cada uno con 2 chicas y de esa manera, todos están con pareja. ¿Cuántas mujeres había inicialmente?
a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100
8. Compro un artículo con el 20% de descuento y lo vendo ganando el 40% del precio original ¿Qué porcentaje he ganado?
a) 60% b) 50% c) 15% d) 13% e) 100%
9. El precio de venta de un artículo es S/. 90, si la ganancia es del 50% del precio de compra, ¿Cuánto es el precio de compra?
a) 15 b) 70 c) 60 d) 50 e) 45
10. El 25% del 20% del 40% de 8000 es:
a) 100 b) 150 c) 160 d) 170 e) 200
PROMEDIOS
a) Media Aritmética (MA):
M_A=(a_1+a_2+a_3+⋯+a_n)/n
b) Promedio Ponderado (MP):
M_P= (P_1 a_1+P_2 a_2+P_3 a_3+⋯+P_n a_n)/(P_1+P_2+P_3+⋯+P_n )
Donde a = promedio
P = cantidad
c) Media Geométrica (MG):
M_G=√(n&a_1×a_2×a_3×…×a_n )
d) Media Armónica (MH):
M_H=n/(1/a_1 +1/a_2 +1/a_3 +⋯+1/a_n )
Si como mínimo dos cantidades son diferentes:
MH < MG < MA
Si todas las cantidades son iguales: MH = MG = MA
Para dos números (b < a)
a x b = MA x MH
MG = √(M_A x M_H )
MA = (a+b )/2
MG = √ab
MH = 2ab/(a+b)
Para tres números (a, b y c)
MA = (a+b+c )/3
MG = ∛abc
MH = 3abc/(ab+bc+ac)
TALLER DE EJERCICIOS
1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio de salón:
a) 15 b) 16,2 c) 15,2 d) 15,1 e) 16,1
2. El promedio de 40 números es 25. Eliminando 60 y 66 que son 2 números. ¿Cuál es el nuevo promedio?
a) 20 b) 23 c) 22 d) 31 e) 41
3. El promedio de las notas de 20 alumnos es 12 y el promedio de otros 30 es 16 ¿Cuál es el promedio total?
a) 12,4 b) 14 c) 13 d) 14,4 e) 15,2
4. Si las calificaciones en tres cursos son proporcionales a 3; 4 y 5 siendo el peso: 5, 4 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la mayor calificación si es promedio es 11,5?
a) 15 b) 20 c) 30 d) 41 e) 10
5. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
6. El promedio geométrico de 4 números enteros diferentes es 2√2 ¿Cuál es el promedio aritmético de estos números?
a) 2,75 b) 3,75 c) 4,5 d) 1 e) 6
7. El promedio de las notas en un curso de 30 alumnos fue 52. Los primeros 6 obtuvieron un promedio de 80 y los 10 últimos sacaron un promedio de 31. Calcule el promedio de los restantes:
a) 25 b) 65 c) 45 d) 55 e) 75
8. ¿Cuál es la media aritmética, geométrica y armónica de 3 y 7?
a) 5; √21 y 4,2 b) 5; √21 y 5
c) 5; √10 y 4 d) 3; 4 y 5
e) 5; 6 y 7
9. En un grupo de 30 personas el promedio de edades es 30; el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es:
a) 15 b) 28 c) 10 d) 20 e) 18
10. Halle la media armónica de 15 y 15:
a) 15 b) 13 c) 14 d) 17 e) 12
M_A=(a_1+a_2+a_3+⋯+a_n)/n
b) Promedio Ponderado (MP):
M_P= (P_1 a_1+P_2 a_2+P_3 a_3+⋯+P_n a_n)/(P_1+P_2+P_3+⋯+P_n )
Donde a = promedio
P = cantidad
c) Media Geométrica (MG):
M_G=√(n&a_1×a_2×a_3×…×a_n )
d) Media Armónica (MH):
M_H=n/(1/a_1 +1/a_2 +1/a_3 +⋯+1/a_n )
Si como mínimo dos cantidades son diferentes:
MH < MG < MA
Si todas las cantidades son iguales: MH = MG = MA
Para dos números (b < a)
a x b = MA x MH
MG = √(M_A x M_H )
MA = (a+b )/2
MG = √ab
MH = 2ab/(a+b)
Para tres números (a, b y c)
MA = (a+b+c )/3
MG = ∛abc
MH = 3abc/(ab+bc+ac)
TALLER DE EJERCICIOS
1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio de salón:
a) 15 b) 16,2 c) 15,2 d) 15,1 e) 16,1
2. El promedio de 40 números es 25. Eliminando 60 y 66 que son 2 números. ¿Cuál es el nuevo promedio?
a) 20 b) 23 c) 22 d) 31 e) 41
3. El promedio de las notas de 20 alumnos es 12 y el promedio de otros 30 es 16 ¿Cuál es el promedio total?
a) 12,4 b) 14 c) 13 d) 14,4 e) 15,2
4. Si las calificaciones en tres cursos son proporcionales a 3; 4 y 5 siendo el peso: 5, 4 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la mayor calificación si es promedio es 11,5?
a) 15 b) 20 c) 30 d) 41 e) 10
5. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
6. El promedio geométrico de 4 números enteros diferentes es 2√2 ¿Cuál es el promedio aritmético de estos números?
a) 2,75 b) 3,75 c) 4,5 d) 1 e) 6
7. El promedio de las notas en un curso de 30 alumnos fue 52. Los primeros 6 obtuvieron un promedio de 80 y los 10 últimos sacaron un promedio de 31. Calcule el promedio de los restantes:
a) 25 b) 65 c) 45 d) 55 e) 75
8. ¿Cuál es la media aritmética, geométrica y armónica de 3 y 7?
a) 5; √21 y 4,2 b) 5; √21 y 5
c) 5; √10 y 4 d) 3; 4 y 5
e) 5; 6 y 7
9. En un grupo de 30 personas el promedio de edades es 30; el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es:
a) 15 b) 28 c) 10 d) 20 e) 18
10. Halle la media armónica de 15 y 15:
a) 15 b) 13 c) 14 d) 17 e) 12
REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA
La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, aunque también es muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera efectiva.
a. Regla de Tres Simple:
- Directa:
A —————— B
C —————— X
X = C . B
A
- Inversa:
A —————— B
C —————— X
X = A . B
C
b. Regla de Tres Compuesta:
Cuando la relación sea directa, se deberá apuntar hacia arriba, caso contrario, si es inversa, se deberá apuntar hacia abajo.
TALLER DE EJERCICIOS
1. 8 obreros pueden hacer una obra en 20 días, después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros ¿Con cuántos días de atraso entregarán la obra?
a) 24 b) 25 c) 10 d) 9 e) 11
2. Una guarnición de 400 soldados sitiados en un fuerte, tienen víveres para 180 días, si consumen 9000 gramos y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados, pero no recibirá víveres antes de 240 días, ¿Cuál deberá ser la relación de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?
a) 540 b) 720 c) 420 d) 450 e) 675
3. Colón y sus 239 hombres al salir de Puerto de Palos tenían víveres para 6 meses. Si al llegar al nuevo continente ya habían transcurrido 4 meses ¿Cuántos hombres se quedarán en América sabiendo que el tiempo de regreso es la misma y la cantidad de relación es la misma?
a) 20 b) 25 c) 32 d) 160 e) 120
4. Un contratista dice que puede terminar un tramo de autopista en tres días, si le proporcionan cierto tipo de máquinas, pero que con 3 máquinas adicionales de dicho tipo puede hacer el trabajo en 2 días. ¿Cuántos días empleará una máquina en hacer el trabajo?
a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20
5. Dos secretarias copian 350 problemas en una semana ¿Cuántas secretarias serán necesarias para copiar 600 problemas en 4 días?
a) 6 b) 4 c) 7 d) 8 e) 5
6. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?
a) 14 b) 26 c) 28 d) 30 e) 12
7. 12 hombres pueden tumbar 12 muros en 12 días ¿Cuántos días demorarán 10 hombres en tumbar 15 muros?
a) 12 b) 9 c) 7 d) 18 e) 6
8. De 200 litros de agua de mar se pueden extraer 8 kg de sal ¿Cuántos litros de agua se deben extraer si se quieren sacar 30 kg de sal?
a) 300 b) 450 c) 500 d) 700 e) 750
9. Si 20 obreros pueden construir un muro en 9 días, ¿Cuántos días se demorarán 15 obreros?
a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 20
10. Un grupo de 24 excursionistas llevan víveres para 18 días, pero al iniciar la excursión se suman 3 personas más ¿Cuántos días antes se acabarán los víveres?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11. Si de 250 kg de uva sale cierta cantidad de vino y 300 kg pueden producir 4 litros más de vino. ¿Cuánto vino produce 250 kg de uva?
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
12. 15 obreros pueden hacer una obra en 42 días, pero 12 de ellos aumentaron su eficiencia, por lo cual la obra terminó en 36 días. ¿En qué fracción aumentaron su eficiencia dichos obreros?
a) 1/5 b) ¼ c) 3/10
d) 7/20 e) 3/20
13. Una familia compuesta por 12 miembros tienen alimentos por 30 días, luego de 10 días, 2 de los hijos salieron de viaje y volvieron luego de algunos días, cada uno con 3 amigos. Ahora si los víveres duraron para el tiempo previsto ¿Cuántos días estuvieron de viaje?
a) 14 b) 12 c) 16 d) 18 e) 15
14. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo?
a) 14 b) 26 c) 28 d) 30 e) 12
15. Un grupo de 50 hombres pueden terminar una obra en 4 semanas. Al cabo de 4 días, se les junta un cierto número de hombres, de modo que en 16 días terminarán el trabajo ¿Cuántos hombres fueron añadidos?
a) 25 b) 20 c) 10 d) 40 e) 15
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas, la otra también varía.
a) MAG. DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) si al aumentar o disminuir una de ellas, el valor de la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. También se cumple que el cociente entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir, dadas las magnitudes «A» y «B»:
A DP B = A / B = Constante
b) MAG. INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporción. También se cumple que el producto entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir las magnitudes «A» y «B»:
A IP B = A . B = Constante
REPARTO PROPORCIONAL
Estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman «índices» de proporcionalidad.
REPARTO SIMPLE
a) Reparto Directo
Se hace de tal manera que las partes resultantes sean DP a los índices de proporcionalidad.
Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:
1. Se suman los índices.
2. Se divide la cantidad a repartir entre dicha suma, siendo el cociente la «constante» de proporcionalidad (K).
3. Las partes se obtienen multiplicando cada «índice» por la «constante» de proporcionalidad (K).
b) Reparto Inverso
Se hace en forma IP a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúan un reparto directo, como ya se conoce:
REPARTO COMPUESTO
En este caso se trata de repartir una cantidad en forma DP a ciertos números y a la vez en IP a otros. Se procede de la siguiente manera:
1. Se convierte la relación IP a DP (invirtiendo los índices).
2. Se multiplican los índices de las relaciones DP.
3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices.
TALLER DE EJERCICIOS
1. Si A es directamente proporcional a B, y cuando A vale 6, B vale 8, determinar B cuando A es 18.
a) 24 b) 8 c) 12 d) 20 e) 16
2. Las magnitudes de A2 y B son directamente proporcionales, cuando A vale 20, B es 18 ¿Qué valor toma A cuando B = 72?
a) 8 b) 12 c) 28 d) 40 e) 32
3. Si la magnitud A es DP a B, y al mismo tiempo A es IP a C. Además cuando A es 15, B es 18 y C es 8. Determinar C, cuando A vale 20 y B vale 9.
a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2.5
4. El costo de un terreno es Inversamente Proporcional al cuadrado de su distancia a Lima y Directamente Proporcional a su área. Cierto terreno cuesta S/. 9000 y otro terreno de triple de área y situado a una distancia 4 veces mayor que el anterior costará:
a) S/. 1080 b) S/. 1060 c) S/. 1050
d) S/. 1040 e) S/. 1030
5. El peso de un disco es directamente proporcional al cuadrado del radio y a su espesor. Se tienen 2 discos cuyos pesos están en relación de 2 es a 3 y cuyos radios están en relación de 4 a 3. Si el espesor del primero es 3 cm. ¿Cuál es el espesor del segundo?
a) 8 cm b) 6 c) 4 d) 2 e) 1
6. Suponiendo que el apetito de una persona es DP a su talla, tenemos que Tatiana mide 1,70 m y come 34 sándwiches. Calcular cuántos sándwiches come se come Keila que mide 1,20 m.
a) 8 b) 12 c) 20 d) 24 e) 16
7. Las magnitudes A2 y B son DP cuando A vale 20 y B es 18 ¿Qué valor toma A cuando B vale 72?
a) 8 b) 12 c) 28 d) 40 e) 32
8. Al repartir una cierta cantidad a tres personas en tres operaciones que son 60, 100 y 80. Si al segundo le dieron 10 más que al primero ¿Cuánto le corresponde al tercero?
a) 25 b) 15 c) 20 d) 60 e) 40
9. Se dispone de un número de monedas de oro comprendido entre 197 y 205. Esas monedas se reparten entre 3 personas. Si el segundo recibe 15 monedas más que el tercero y el primero recibe el doble de lo que recibe el segundo ¿Cuántas monedas recibe el tercero?
a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42
10. Cuatro amigos A, B, C y D han terminado de almorzar en un restaurante. D explica: “Como les dije, yo no tengo ni un centavo; pero repartiré 12 manzanas entre ustedes, proporcionalmente a lo que hayan aportado para mi almuerzo”. La cuenta fue de 60 soles y A pagó S/. 15, B pagó S/. 20 y C pagó S/. 25. ¿Cuántas manzanas reciben cada uno?
a) 0, 4 y 8 b) 1, 4 y 7 c) 2, 4, 6
d) 3, 4 y 5 e) 4, 4 y 5
11. Un padre reparte S/. 60 entre sus cuatro hijos proporcionalmente a sus edades que son: 4, 5, 6 y 15 años respectivamente ¿Cuánto le corresponde al menor?
a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/. 8
d) S/. 30 e) S/. 6
12. Un padre decide repartir S/. 260 entre sus hijos según sus horas de estudio, si estas son: 6 h, 4 h y 3 h ¿Cuánto recibe el que más estudió?
a) S/. 20 b) S/. 80 c) S/. 120
d) S/. 200 e) S/. 320
13. Repartir el número 390 entre los siguientes números 3x+1; 3x+2; 3x+3. Indicar la parte mayor.
a) 30 b) 50 c) 120 d) 70 e) 270
14. Se reparte una cantidad “n” entre 2, 5 y 7. Si la parte mayor fue 700. Determinar “n”:
a) 700 b) 900 c) 1200 d) 1400 e) 1500
15. Por un trabajo de carpintería se pagó a tres personas 5400 soles, ¿Cuánto le toca a cada uno si hicieron respectivamente 10, 12 y 5 mesas? Dar como respuesta la mayor cantidad.
a) S/. 1000 b) S/. 2000 c) S/. 2200
d) S/. 2300 e) S/. 2400
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